【単元別】数学の勉強法―数と式編―

 こんばんは、PARADIGMみやぎです!

 今回のタイトルは「【単元別】数学の勉強法―数と式編―」です。

 本日は数学Iの「数と式」について解説を行います。

スポンサードサーチ

最初にして最高に大切な範囲「数と式」

 「数と式」は高校生になって一番最初に学習する範囲です。

 この分野は中学生のころに学んだ展開や因数分解、絶対値などの学習を行うので馴染み深い方も多いと思います。

 しかし、この範囲は高校数学の根幹をなす範囲です。

 数学の解答を見ていて「なぜこの式変形になるんだろう?」と思ったことはありませんか?

 質問対応アプリや掲示板で解答を載せて、「この式がなぜ次の式に変形できるのかわかりません」という悩みをよく見ます。

 それは数Iを学んでいる人に限りません。数IIIを学んでいる人にも言えます。

 この悩みは全て「数と式」をないがしろにしたことが原因です!

 さらに厄介なことは、この範囲で一度様々な「式変形」を学習しているので、それ以降ではその変形の解説がないところです。

 これが原因で数学を苦手になる受験生が多いのです。

 数学が苦手な人はこの「数と式」の単元をやり直してみましょう。今までの理解度が嘘かのように数学が得意になると思います。

 一緒に頑張りましょう!

数と式の単元

  1. 展開・因数分解を含めた式の計算
  2. 絶対値・1次不等式
  3. 有理数の定義・平方根
  4. 集合と命題

 この中でも今後の計算に必要な1と2について解説します。

1.展開・因数分解を含めた式の計算

 中学3年生のころに嫌というほど計算した人は多いのではないでしょうか?

 中学では

1、(a + b)= a2 + 2ab + b2

2、(a − b)= a2 − 2ab + b2

3、(a + b)(a − b) = a− b2

4、(x + a)(x + b) = x2 +x (a + b)x +ab

 の四つでしたね。

 これを様々な場面で使ったと思います。

 しかし、高校数学ではこれらに加え、

1、(a + b)= a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

2、(a − b)= a3 − 3a2b + 3ab2 −b3

3、(a + b)(a−ab + b2) = a+ b3

4、(a − b)(a+ab + b2) = a3 − b3

 3乗の公式が追加されます。

 よくある間違いとして、分配法則で出来るから公式を覚えないという間違いがあげられます。

 この単元は高校数学の基礎です。この単元をクリアすることが目的ではなく、今後この式変形を利用して他の問題を解くことが目的です。

 またこの単元で数学が苦手かも。。。なんて悩んでいる人は安心してください!

 この単元の特徴は暗記で対処できるというところです。

 ちょっと例題をみてみましょう!

問 x4 + x2 +1 を因数分解せよ

x4 + x2 + 1 = x4 + x2 +1 + x2 − x2         

                  = x4 + 2x2 + 1 − x2 と変形します。

x4 + 2x2 + 1 = (x2 + 1)2となるので

x4 + 2x2 + 1 x= (x2 + 1)x2 となります。

x2 + 1 = a

x = b とおくと

a− b2 = (a + b)(a − b) より

(x2 + 1)2 x2 = (x2 + 1 + x)(x2 + 1 − x)

 最初の式変形なんてほとんどの人が思いつきません。

 この単元での目標は今後このような式変形ができるようになることです。

 違う単元を学習する際に役に立てることです。

 ここで様々な式変形を覚え、復習で解けるようにしてください。

この単元の達成目標

レベル1:公式の暗記

レベル2:置き換えを行った展開

レベル3:置き換えを行った因数分解

 レベル1の公式暗記だけ例題を用意しておきます。必ず覚えてください!

レベル1

展開

1.(a + b)=

2.(a − b)=

3.(a + b)(a − b) =

4.(x + a)(x + b) =

5.(a + b)

6.(a − b)

7.(a + b)(a−ab + b2) = 

8.(a − b)(a+ab + b2) = 

因数分解

9.a2 + 2ab + b2 =

10.a2 − 2ab + b=

11.a− b=

12.x2 +x (a + b)x +ab =

13.a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 =

14.a3 − 3a2b + 3ab2 −b3 =

15.a+ b3 =

16.a3 − b3 =

絶対値・1次不等式

 絶対値とは、例えば |3| の || の部分のことを呼びましたね。

 中学生の頃は「絶対値は正ならそのまま外れ、負なら絶対値を-をつけて外す」と覚えました。

|3|=3

|-3|= -(-3)= 3

 高校でも同じ理解で通用します。

 絶対値は距離という考え方もできますが、それはまた別の機会に話します。

 今回は絶対値は正ならそのまま、負ならマイナスをつけて外す、と解釈します。

 そこで大切になってくる考え方が場合わけです。

 今後高校数学で嫌というほど聞くことになるので、ここでしっかり身につけましょう。

 絶対値は正ならそのまま、負ならマイナスをつけると話しました。

 それでは|a|ならどうでしょう。

 このaとは正なのか負なのか分かりません。このままでは絶対値が外せません。

 ここで場合分けが登場します!

 aが正か負かわからないから解けない。それなら正か負かわかるようにすれば解けますね。

  1. aが正のとき、つまりa≧0のとき|a|= a
  2. aが負のとき、つまりa<0のとき|a|= -a

 これを場合分けといいます。

 範囲がわからないなら範囲を指定してあげる、という考え方です。

 範囲を指定する際に不等式も利用します。中学で学んだ内容の復習にあたるので、しっかり頑張ってください!

 特に数直線で共通範囲を判別することがあるので必ずできるようにしましょう。

この単元の達成目標

レベル1:絶対値の中が正ならそのまま、負なら-をつけて外せる

レベル2:絶対値の中が変数のとき、場合分けをして外せる